量子力学

光的本质

!!! note “黑体辐射”

黑体辐射指一种理想化的物体(称为黑体)在热平衡状态下发出的电磁辐射.黑体能够吸收所有入射的电测辐射,而不反射或透射任何辐射

**普朗克辐射定律**

$$
R(\lambda,T)=\frac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}\notag
$$

$h=6.63\times 10^{-34}J\cdot s$

约化普朗克常数$\overline{h}=\frac{h}{2\pi}$

光子的性质

波:

$$\vec{E}=\vec{E_m}\cos{(\vec k \cdot \vec r - \omega t)}或者\vec E=\vec E_me^{i(\vec k \vec r-\omega t)}\notag$$

粒子:

$$E=h\nu=h\frac{\omega}{2\pi}=\overline{h}\omega$$ $$E=mc^2=pc$$ $$动量p=\frac Ec=\frac{h\nu}{c}=\frac h \lambda=\overline h k\notag$$

光电效应

$$K=\frac12 mv^2=eV_0$$ $$V_0是截止电压$$

• 阈值频率:只有当入射光的频率高于某个特定值的时候,才会发生光电效应;

• 能量关系:光子能量一部分用于克服逸出功,剩下的转化为电子的动能.

  • $$h\nu=K+\phi=\frac12 mv^2+\phi$$

物质波

一个粒子速度为$v$,质量为$m$

• 动量$p=mv$;
• 动能$E_k=\frac12 mv^2$

其波性质

• $E=h\nu=\overline{h}\omega$
• $p=\frac{h}{\lambda}=\overline{h}k$

波长为

$\lambda=\frac hp=\frac{h}{mv}=\frac{h}{\sqrt{2mE_k}}$

我们有了频率和波长,就可以写出波函数:

$$\Psi=C\cos{(kx-\omega t)}$$ $$\Psi=Ce^{i(kx-\omega t)}=Ce^{\frac{i}{\overline h}(px-Et)}$$

波函数的物理解释

波恩:$\Psi\Psi^*\cdot dx$表示从$x$到$x+dx$这段距离内,找到粒子的几率

定义几率密度$P(x)=\Psi\Psi^*$

如果要求粒子在$x_1$到$x_2$之间被找到的几率,那么

$$P(x_1,x_2)=\int_{x_1}^{x_2}P(x)dx\notag$$

归一化$\int_{-\infty}^{+\infty}P(x)dx=1$.

对于自由粒子:

$$P(x)=[\psi_0e^{i(kx-\omega t)}][\psi_0^*e^{-i(kx-\omega t)}]=|\psi_0|^2$$

在负无穷到正无穷找到的概率都是一样的

算符

• 期望算符

虽然我们不能准确描述一个粒子的位置,但是我们可以有期望位置

$$\overline{x}=\frac{\int_{-\infty}^{+\infty}x\Psi^*\Psi dx}{\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*\Psi dx}=\frac{\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*x\Psi dx}{\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*\Psi dx}=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*x\Psi dx=\langle\psi|x|\psi\rangle=\langle|x|\rangle\notag$$

• 势能平均值

$$\overline{U}=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*U(x)\Psi dx=\langle\psi|U(x)|\psi\rangle\notag$$

• 动量算符

$$首先我们有波函数\Psi=\psi_0 e^{i(kx-\omega t)}$$ $$\frac{\partial \Psi}{\partial x}=ik\psi_0 e^{i(kx-\omega t)}$$ $$-i\overline{h}\frac{\partial \Psi}{\partial x}=(-i\overline{h})ik\psi_0 e^{i(kx-\omega t)}=\overline{h}k\psi_0 e^{i(kx-\omega t)}$$ $$\Rightarrow -i\overline{h}\frac{\partial}{\partial x}\Psi=p\psi_0 e^{i(kx-\omega t)}=p\Psi$$

我们就求得了动量算符$p=-i\overline{h}\frac{\partial}{\partial x}$

利用动量算符求动量的平均值

$$\begin{align*} \overline{p}&=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*(-i\overline{h}\frac{\partial}{\partial x})\Psi dx \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*(-i\overline{h}\frac{\partial}{\partial x})\psi_0e^{i(kx-\omega t)} dx\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*(-i\overline{h})ik\psi_0e^{i(kx-\omega t)} dx=\overline{h}k\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*\psi_0e^{i(kx-\omega t)}dx\\ &=\overline{h}k\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*\Psi dx=\overline{h}k \end{align*}$$

• 能量算符

$$波函数\Psi=\psi_0 e^{i(kx-\omega t)}$$ $$对t求偏导: \ \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-i\omega \psi_0 e^{i(kx-\omega t)}$$ $$i\overline{h}\frac{\partial \Psi}{\partial t}=(i\overline{h})(-i\omega) \psi_0 e^{i(kx-\omega t)}=\overline{h}\omega \psi_0 e^{i(kx-\omega t)}=E\Psi$$

我们得到能量算符$E=i\overline{h}\frac{\partial}{\partial t}$

然后一样求平均

$$\begin{align*} \overline{E}&=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*(i\overline{h}\frac{\partial}{\partial t})\Psi dx \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*(i\overline{h}\frac{\partial}{\partial t})\psi_0e^{i(kx-\omega t)} dx\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*(i\overline{h})(-i\omega)\psi_0e^{i(kx-\omega t)} dx=\overline{h}\omega \int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*\psi_0e^{i(kx-\omega t)}dx\\ &=\overline{h}\omega \int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*\Psi dx=\overline{h}\omega \end{align*}$$

薛定谔方程

一个粒子的总能量

$$E=\frac12mv^2+U=\frac{P^2}{2m}+U\notag$$

方程两边同时乘以$\Psi$

$$E\Psi=\frac{P^2}{2m}\Psi+U\Psi\notag$$

我们前边又求出了动量和能量算符,带入

$$\begin{align*} i\overline{h}\frac{\partial}{\partial t}\Psi&=\frac{1}{2m}(-i\overline{h}\frac{\partial}{\partial x})(-i\overline{h}\frac{\partial}{\partial x})\Psi+U\Psi\\ &=-\frac{\overline{h}}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi+U\Psi \end{align*}$$

然后我们就得到了一维含时薛定谔方程

$$i\overline{h}\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=[-\frac{\overline{h}}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U(x,t)]\Psi(x,t)$$

只要我们知道势能$U(x,t)$,我们就能解出$\Psi(x,t)$

我们把上边的薛定谔方程改写一下

$$i\overline{h}\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=\hat{H}\Psi(x,t)$$

$\hat{H}$称为能量算符,也叫哈密顿算符

• 如果是一维,$\hat{H}=-\frac{\overline{h}}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U(x,t)$
• 如果是三维,$\hat{H}=-\frac{\overline{h}}{2m}\nabla^2+U(x,t)$

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如果能量是确定的($U$不随时间变化),那么波函数可以写成

$$\Psi(x,t)=\psi(x)e^{-i\omega t}=\psi e^{-i\omega t}$$

带回去得到定态薛定谔方程

$$-\frac{\overline{h}}{2m}\frac{d^2 \psi(x)}{d x^2}+U(x)\psi(x)=E\psi(x)$$

!!! note “势垒隧道与测不准原理”

势垒隧道

在经典力学中,如果有一个势能壁垒,我想要跨过这个壁垒,那我的能量必须要大于这个壁垒.

但是在量子力学中,即使粒子的能量小于壁垒,仍然有概率穿过这个势垒,就像走了隧道一样.

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测不准原理

- $\Delta x\Delta p\ge\frac{\overline{h}}{2}$
- $\Delta E\Delta t\ge\frac{\overline{h}}{2}$